容斥問題是指多個集合中在某種條件下，相互包容或相互排斥，求解特定情況數的一種計數問題。在考試中，為了使大家容易快速區分類型，我們將題目分成兩個集合和三個集合的常規型容斥問題，公式法和畫圖法，會哪個用哪個哦，下面我們主要講解一下畫圖法。

　　畫圖法

　　（1）標數時，注意由中間向外圍標記；

　　（2）圖示中每一部分都有自己的含義，標數切不可寫錯；

　　（3）注意“滿足某條件”和“僅滿足某條件”區分，及“三個條件都不滿足”的情形。

　　兩集合型

　　【例1】某班有60人，參加物理競賽的有30人，參加數學競賽的有32人，兩科都沒有參加的有20人。同時參加物理、數學兩科競賽的有多少人？（）

　　A. 28人 B.26人 C. 24人 D. 22人

　　【解析】設兩個競賽都參加的有x人，由于參加數學人數+參加物理人數-都參加的人數=總人數-都未參加人數，30+32-x=60-20，解得x=22。選擇D。

　　【例2】某高校大學生數學建模競賽協會共有240名會員，今欲調查參加過國家級競賽和省級競賽的會員人數，發現每個會員至少參加過一個級別的競賽。調查結果顯示：有7/12的會員參加過國家級競賽，有1/4的會員兩個級別的競賽都參加過。則參加過省級競賽的會員人數是（）。

　　A. 160 B. 120 C. 100 D.140

　　【解析】參加國家級競賽人數為240×7/12=140，參加兩個級別競賽的人數是240×1/4=60，根據兩集合公式可得：240=140+省級人數-60，解得省級人數為160。選擇A。

　　三集合型

　　【例3】如圖所示，X、Y、Z分別是面積為64、180、160的三張不同形狀的紙片。它們部分重疊放在一起蓋在桌面上，總共蓋住的面積為290。X與Y、Y與Z、Z與X的重疊面積分別為24、70、36，則陰影部分的面積是（ ）。

　　A. 12 B. 16 C. 18 D.20

　　【解析】應用三集合公式，可知：290＝64＋180＋160-24-70-36＋陰影面積，容斥問題涉及加減運算的量比較多，所以經常采用尾數法簡化計算。比如此題0=4+0+0-4-0-6+陰影面積，解得陰影面積的尾數為6。解得陰影為16。選擇B。

　　【例4】某專業有學生50人，現開設甲、乙、丙三門選修課。有40人選修甲課程，36人選修乙課程，30人選修丙課程，兼選甲乙兩門課程的有28人，兼選甲丙兩門課程的有26人，兼選乙丙兩門課程的有24人，甲乙丙三門課程均選的有20人，問三門課程均未選的有多少人？

　　A. 1人 B. 2人 C.3人 D. 4人

　　【解析】設三門課均未選的人數為x人，由于總人數=選擇甲+選擇乙+選擇丙-選擇甲乙-選擇甲丙-選擇乙丙+選擇甲乙丙+未選擇甲乙丙，可得到50=40＋36＋30-28-26-24＋20+x，解得x=2。或用尾數計算為2。選擇B。

　　【例5】某企業調查用戶從網絡獲取信息的習慣，問卷回收率為90%。調查對象中有179人使用搜索引擎獲取信息，146人從官方網站獲取信息，246人從社交網站獲取信息，同時使用這三種方式的有115人，使用其中兩種的有24人，另有52人這三種方式都不使用，問這次調查共發出了多少份問卷？（）

　　A. 310 B. 360 C. 390 D.410

　　【解析】由于“總數-不滿足任何條件的情況=滿足條件Ⅰ的+滿足條件Ⅱ的+滿足條件Ⅲ的-僅滿足2個條件的-2×滿足3個條件的”可知，收回問卷數-52=179+146+246-24-2×115。解得收回問卷369份，故發出問卷數量為369÷90%=410（份）。選擇D。