第一部分 數與代數

　　一、分數乘法

　　（一）分數乘法的計算法則：

　　1、分數與整數相乘：分子與整數相乘的積做分子，分母不變。（整數和分母約分）

　　2、分數與分數相乘：用分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母。

　　3、為了計算簡便，能約分的要先約分，再計算。

　　注意：當帶分數進行乘法計算時，要先把帶分數化成假分數再進行計算。

　　（二）規律：（乘法中比較大小時）

　　一個數（0除外）乘大于1的數，積大于這個數。

　　一個數（0除外）乘小于1的數（0除外），積小于這個數。

　　一個數（0除外）乘1，積等于這個數。

　　（三）分數混合運算的運算順序和整數的運算順序相同。

　　（四）整數乘法的交換律、結合律和分配律，對于分數乘法也同樣適用。

　　乘法交換律：a×b=b×a

　　乘法結合律：(a×b)×c=a×(b×c)

　　乘法分配律：（a+b）×c=ac+bc ac+bc=（a+b）×c

　　二、分數乘法的解決問題（詳細見重難點分解）

　　（已知單位“1”的量（用乘法），求單位“1”的幾分之幾是多少）

　　1、找單位“1”： 在分率句中分率的前面； 或 “占”、“是”、“比”的后面

　　2、求一個數的幾倍： 一個數×幾倍； 求一個數的幾分之幾是多少： 一個數× 。

　　3、寫數量關系式技巧：

　　（1）“的”相當于 “×”（乘號）

　　“占”、“是”、“比”“相當于”相當于“=”（等號）

　　（2）分率前是“的”：

　　單位“1”的量×分率=分率對應量

　　（3）分率前是“多或少”的意思：

　　單位“1”的量×（1±分率）=分率的對應量

　　二、分數除法

　　（一）倒數

　　1、倒數的意義：乘積是1的兩個數互為倒數。

　　強調：互為倒數，即倒數是兩個數的關系，它們互相依存，倒數不能單獨存在。（要說清誰是誰的倒數）。

　　2、求倒數的方法：（原數與倒數之間不要寫等號哦）

　　（1）求分數的倒數：交換分子分母的位置。

　　（2）求整數的倒數：把整數看做分母是1的分數，再交換分子分母的位置。

　　（3）求帶分數的倒數：把帶分數化為假分數，再求倒數。

　　（4）求小數的倒數： 把小數化為分數，再求倒數。

　　3、因為1×1=1，1的倒數是1；

　　因為找不到與0相乘得1的數0沒有倒數。

　　4、對于任意數a(a≠0)，它的倒數為1/a；非零整數a的倒數為1/a；分數b/a的倒數是a/b；

　　5、真分數的倒數大于1；假分數的倒數小于或等于1；帶分數的倒數小于1。

　　（二）分數除法

　　1、分數除法的意義：

　　分數除法與整數除法的意義相同，表示已知兩個因數的積和其中一個因數，求另一個因數的運算。

　　2、分數除法的計算法則： 除以一個不為0的數，等于乘這個數的倒數。

　　3、規律（分數除法比較大小時）：

　　（1）當除數大于1，商小于被除數；

　　（2）當除數小于1（不等于0），商大于被除數；

　　（3）、當除數等于1，商等于被除數。

　　4、“[ ] ”叫做中括號。一個算式里，如果既有小括號，又有中括號，要先算小括號里面的，再算中括號里面的。

　　（三）分數除法解決問題（詳細見重難點分解）

　　（未知單位“1”的量（用除法）： 已知單位“1”的幾分之幾是多少，求單位“1”的量。 ）

　　1、數量關系式和分數乘法解決問題中的關系式相同：

　　（1）分率前是“的”：

　　單位“1”的量×分率=分率對應量

　　（2）分率前是“多或少”的意思：

　　單位“1”的量×（1 分率）=分率對應量

　　2、解法：（建議：最好用方程解答）

　　（1）方程：根據數量關系式設未知量為x，用方程解答。

　　（2）算術（用除法）：分率對應量÷對應分率 = 單位“1”的量

　　3、求一個數是另一個數的幾分之幾：就用一個數÷另一個數

　　4、求一個數比另一個數多（少）幾分之幾：

　　① 求多幾分之幾：大數÷小數 – 1

　　② 求少幾分之幾： 1 - 小數÷大數

　　或①求多幾分之幾（大數-小數）÷小數

　　② 求少幾分之幾：（大數-小數）÷大數

　　（四）比和比的應用

　　1、比的意義：兩個數相除又叫做兩個數的比。

　　2、在兩個數的比中，比號前面的數叫做比的前項，比號后面的數叫做比的后項。比的前項除以后項所得的商，叫做比值（比值通常用分數表示，也可以用小數或整數表示）。

　　例如

　　15 ： 10 = 15÷10=1.5

　　∶ ∶ ∶ ∶

　　前項 比號 后項 比值

　　3、比可以表示兩個相同量的關系，即倍數關系。也可以表示兩個不同量的比，得到一個新量。

　　例： 路程÷速度=時間。

　　4、區分比和比值

　　比：表示兩個數的關系，可以寫成比的形式，也可以用分數表示。

　　比值：相當于商，是一個數，可以是整數，分數，也可以是小數。

　　5、根據分數與除法的關系，兩個數的比也可以寫成分數形式。

　　6、比和除法、分數的聯系：

　　7、比和除法、分數的區別：除法是一種運算，分數是一個數，比表示兩個數的關系。

　　8、根據比與除法、分數的關系，可以理解比的后項不能為0。

　　體育比賽中出現兩隊的分是2:0等，這只是一種記分的形式，不表示兩個數相除的關系。

　　（五）比的基本性質

　　1、根據比、除法、分數的關系：

　　商不變的性質：被除數和除數同時乘或除以相同的數（0除外），商不變。

　　分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘或除以相同的數時（0除外），分數值不變。

　　比的基本性質：比的前項和后項同時乘或除以相同的數(0除外)，比值不變。

　　2、最簡整數比：比的前項和后項都是整數，并且是互質數，這樣的比就是最簡整數比。

　　3、根據比的基本性質，可以把比化成最簡單的整數比。

　　4.化簡比：

　　（1）用比的基本性質化簡

　　①用比的前項和后項同時除以它們的最大公因數。

　　②兩個分數的比：用前項后項同時乘分母的最小公倍數，再按化簡整數比的方法來化簡。

　　③兩個小數的比：向右移動小數點的位置，先化成整數比再化簡。

　　（2）用求比值的方法。注意: 最后結果要寫成比的形式。

　　5．按比例分配：把一個數量按照一定的比來進行分配。這種方法通常叫做按比例分配。

　　如： 已知兩個量之比為 ，則設這兩個量分別為 。

　　6、路程一定，速度比和時間比成反比。（如：路程相同，速度比是4：5，時間比則為5：4）

　　工作總量一定，工作效率和工作時間成反比。

　　（如：工作總量相同，工作時間比是3:2，工作效率比則是2:3）

　　三、百分數

　　（一）百分數的意義和寫法

　　1、百分數的意義：表示一個數是另一個數的百分之幾。

　　百分數是指的兩個數的比，因此也叫百分率或百分比。

　　2、百分數和分數的主要聯系與區別：

　　（1）聯系：都可以表示兩個量的倍比關系。

　　（2）區別：

　　①意義不同：百分數只表示兩個數的倍比關系，不能表示具體的數量，所以不能帶單位；

　　分數既可以表示具體的數，又可以表示兩個數的關系，表示具本數時可以帶單位。

　　②、百分數的分子可以是整數，也可以是小數；

　　分數的分子不能是小數，只能是除0以外的自然數。

　　3、百分數的寫法：通常不寫成分數形式，而在原來分子后面加上“％”來表示。

　　（二）百分數與小數的互化：

　　1、小數化成百分數：把小數點向右移動兩位，同時在后面添上百分號。

　　2. 百分數化成小數：把小數點向左移動兩位，同時去掉百分號。

　　（三）百分數的和分數的互化

　　1、百分數化成分數：

　　先把百分數化成分數，先把百分數改寫成分母是否100的分數，能約分要約成最簡分數。

　　2、分數化成百分數：

　　① 用分數的基本性質，把分數分母擴大或縮小成分母是100的分數，再寫成百分數形式。

　　②先把分數化成小數（除不盡時，通常保留三位小數），再把小數化成百分數。

　　（四）常見的分數與小數、百分數之間的互化

　　（五）用百分數解決問題（詳細見重難點分解）

　　【知識要點】

　　一、“求一個數的幾分之幾是多少用乘法計算”是分數應用題解題的根本依據，結合分數的定義來理解，就是把一個數（或是整體）平均分成分母份，取分子份。

　　二、分數、百分數應用題的主要類型：

　　所有分數與百分數的應用題都是圍繞“單位“1”×分率＝對應量”這個關系式來出題，所以可以分為求對應量、求單位“1”、求分率三大類：

　　第一大類：求對應量，也就是已知單位“1”和所求量在單位“1”中占的分率。

　　第二大類：求單位“1”，也就是已知一個數量與它在所求量中占的分率，這類題一般是已知部分量求整體量，尤其是在扇形統計圖的題中最能體現，此類題最關鍵的是要“量率對應”。

　　第三大類：求分率，也就是已知兩個數量，要求其中一個量在另一個量中所占的分率，或者要求一個量比另一個量多或少幾（百）分之幾

　　（1）求B是A的幾（百）分之幾： 用“B÷A”

　　（2）求B比A多（少）幾（百）分之幾

　　（大數—小數）÷單位“1” 或者說是 兩數之差÷單位“1”

　　注：單位“1”就是指“標準量”，也就是在描述兩個量的關系時，是以哪個量為標準，那個量就叫單位“1”，例如：小明比小紅高1%，這里是以小紅的身高為標準，因此小紅的身高是單位“1”。一般在題中，只需要找到“是”、“占”、“比”、“相當于”等字詞，這些字詞后面跟著的量就是單位“1”，除此之外，總數，原價，原來的量是固定的單位“1”。

　　三、較復雜的分數（百分數）應用題是基本分數應用題的延續和發展，它的特點是已知條件之間、已知條件和所求問題之間不再有直接的對應量率關系。解題時一定要找準標準量（單位“1’）,找準“與量對應的率”、“與率對應的量”，并利用線段圖來幫助理解題意，分析數量關系。

　　四、百分率問題：

　　優秀率＝優秀人數÷總人數×100% 成活率=成活棵樹÷總棵樹×100%

　　花生出油率＝花生油重量÷花生重量×100% 合格率=合格人數÷總人數×100%

　　出粉率=面粉質量÷小麥質量×100% 百分率=部分數÷總數×100%

　　現實生活中還有“及格率”、“出勤率”、“合格率”、“達標率”、“利潤率”等含意相近的詞，我們要靈活運用（百）分數知識，解決這些實際問題。

　　五、按比例分配問題：

　　按比例分配:把一個數按照一定的比來進行分配,這種分配方法通常叫做按比例分配。解答按比例分配問題，要根據已知條件，把已知數量與份數對應起來,轉化為求一個數的幾分之幾來做。

　　六、工程問題。

　　解題指導：“工程問題”指的都是兩個人以上合作完成某一項工作，有時還將內容延伸到相遇運動和向水池注水等等。解答工程問題時，一般都是把總工作量看作單位“1”，把單位“1”除以工作時間看成工作效率，因此，工作效率就是工作時間的倒數。

　　工程問題關系式是：工作總量÷工作效率＝工作時間 工作總量÷工作效率和＝合作時間

　　注：在題目中沒有給出工程的工作總量是多少，解題時就用1來表示工作總量，用時間的倒數表示工作效率。

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