因為在拓撲相變和物質拓撲相方面的開創性工作，索利斯（David J. Thouless）、霍爾丹（F. Duncan M. Haldane）和科斯特里茲（J. Michael Kosterlitz）分享2016年諾貝爾物理學獎[1]。

　　這三位獲獎物理學家都是長期在美國工作的英國人，生于英國，在劍橋大學讀本科。

　　索利斯生于1934年，在美國康奈爾大學獲得博士學位，導師是著名物理學家貝特（Hans Bethe）。他是華盛頓大學榮休教授。

　　霍爾丹生于1951年，在劍橋大學獲博士學位，導師我印象里是愛德華茲(Sam F. Edwards）和當時在劍橋大學兼職的著名物理學家安德森（Phil W. Anderson）。他是普林斯頓大學教授。

　　科斯特里茲生于1942年，在牛津大學獲博士學位，是布朗大學教授。我在頒獎之日所寫的即時評論中，曾說：“今年的獎，對他（索利斯）來說，是姍姍來遲。”[2]這句話除了字面意思，還有點特殊含義，因為令人痛惜：索利斯得了阿爾茨海默癥。

　　三位物理學獎得主都在劍橋大學讀的本科。圖片來源：wiki

　　拓撲是什么？

　　拓撲本來是一個數學概念，是指物體在連續變化下保持不變的性質。連續變化是指拉伸、扭曲以及變形等等，但是不能有撕裂。比如，一個球和一個橢球，甚至一個任意形狀、沒有洞的物體，在拓撲上都是一樣的。一個面包圈和有一個手柄的茶杯，甚至任何有一個穿透的洞的物體在拓撲上是一樣的。 因此洞的個數（數學上叫做虧格）是個拓撲性質，是整數。

　　三位獲獎科學家發現，拓撲在凝聚物質的一些物理特性上起到至關重要的作用。凝聚物質是指大量粒子構成的物質，如固體、流體等等。這些物理特性一般是指在低溫下的性質，因為這時量子力學扮演了重要角色。 三位科學家的獲獎工作都是研究屬于低維凝聚態系統。

　　通常的空間是3維（有長、寬、高）。當組成系統的微觀粒子的運動受到局限時，可以成低維系統，即2維（只有長、寬）或1維（只有長度）。 索利斯和科斯特里茲的獲獎工作都是有關2維系統。霍爾丹的獲獎工作涉及2維和1維系統。

　　三位獲獎者的成果后來導致這個研究領域取得極大的進展，從而使得我們可以從微觀粒子的拓撲性質的角度來理解凝聚物質，以及設計新材料、新器件，甚至有可能有助于量子計算機的實現。

　　物質的相。圖片來源：nobelprize.org

　　拓撲相變是什么？

　　獲獎成果之一是所謂拓撲相變。

　　相變是指由同樣的微觀粒子組成的宏觀體系在不同溫度下表現出截然不同的性質。比如隨著溫度的下降，氣體變成液體，液體變成固體。再比如，隨著溫度的下降，液態氦可以變成超流——也就是說，變成一種沒有粘滯的流體（類似超導）。不同宏觀性質的表現叫做相，比如水的氣相、液相、固相，或者液氦的超流相、正常相。

　　之所以有相變，是因為存在兩種因素，即能量與混亂程度（稱作熵）的互相競爭。一方面不同的相能量不同，比如簡單來說，液相比氣相能量低，固相又比液相能量低。而另一方面，液相比固相混亂，氣相又比液相混亂。對于液氦來說，超流相比正常相能量低，正常相比超流相混亂。混亂程度（熵）乘以溫度以后可以直接與能量定量比較。為了穩定，系統既希望能量盡量低，又希望混亂程度盡量高。最后的結果是，存在某個溫度，在這溫度之上，系統處于某個相；在這溫度之下，系統處于另一個相。這就是相變。

　　1972年以前，物理學家普遍認為，正常相到超流相的相變只能存在于3維系統中。對于2維系統，當時人們認為在非零溫度，不存在相變。也就是說，任何一個非零溫度下，總是正常相贏，因為它在混亂程度上的優勢總能戰勝在能量上的逆勢。因此，人們說，在2維或1維系統中，在任何非零溫度下，熱漲落破壞有序，沒有相變。

　　1972年，在英國伯明翰大學，數學物理學教授索利斯和博士后科斯特里茲發現，通過拓撲的途徑，在2維可以發生一種新的相變，即拓撲相變。

　　具體來說，這個拓撲的途徑是通過渦旋。渦旋是指某個區域中繞著一個軸旋轉的液體（或者某個物理特性隨著繞軸的角度而變），這是一個拓撲結構，因為不管怎么旋轉，轉1圈總歸是360度，與沒有渦旋的情況截然不同。表征一個渦旋的量是它的纏繞數，即繞軸的圈數。

　　相變。這一刻發生在物質從一個相到另一個相的過渡階段（比如冰熔化成水）。使用拓撲，科斯特利茨和索利斯描述了一個超低溫下的、薄薄的一層物質上發生的拓撲相變。在這種極端的寒冷下，渦旋對形成，然后在達到相變溫度時，突然分開。這是在凝聚態物理二十世紀最重要的發現之一。圖片來源：nobelprize.org

　　索利斯和科斯特里茲發現，在2維系統中，渦旋有兩種形態，一個是旋轉方向相反的渦旋兩兩束縛在一起，另一個是它們沒有互相束縛。這兩種形態有能量與混亂度的競爭，導致在一個非零溫度發生相變。低于這個溫度時，正反渦旋形成束縛對。 高于這個溫度時，渦旋可以自由運動。這個相變被稱作拓撲相變或者KT相變。索利斯和科斯特最初討論的超流薄膜的相變，但是類似的KT相變也存在與其他系統，如超導薄膜、平面磁系統等等。

　　索利斯和科斯特里茲是在理論上的發現，后來在超流薄膜、超導薄膜以及其他各種系統得到實驗證實，包括近年來的冷原子，即處于極低溫度的原子氣體。

　　量子霍爾效應中的拓撲

　　1980年，德國物理學家馮克里青（von Klitzing）研究了2維電子氣的霍爾效應。在兩種不同的半導體之間，可以形成一個薄薄的導電層，電子在其中構成一個2維氣體。在電壓下電子形成電流。這時再加上一個垂直的磁場。由于磁場的作用，在垂直于電流的方向，也會形成電壓，稱作霍爾電壓。這個基本現象是霍爾在1879年發現的，稱作霍爾效應，可以用電磁學得到簡單的解釋。

　　而馮克里青將樣品保持在極低溫下，從而觀察量子力學的效應。他發現，電流與霍爾電壓的比值（稱作霍爾電導）總是某個物理常數（電子電荷的平方除以普朗克常數）的整數倍，這被稱為量子霍爾效應。而且這個量子化非常精確，精確度達到10億分之一，所以這個物理常數的倒數（即普朗克常數除以電子電荷的平方，被稱作馮克里青常數）現在已經被用作電阻的標準單位。馮克里青因此發現獲得1985年諾貝爾物理學獎。

　　實驗發現，霍爾電導非常穩定。在一定范圍內，改變溫度、半導體中的雜質濃度和磁場時，霍爾電導保持不變。磁場改變到一定程度時，霍爾電導相應的整數變為相鄰整數。

　　1980年，索利斯轉至美國華盛頓大學工作。在那里，他與合作者（根據4位作者的姓，被稱作TKNN）提出，量子霍爾電導的量子化起源于拓撲，對應的整數是個拓撲數，這就是數學家陳省身很多年前發現的陳數。

　　后來索利斯還與當時的學生牛謙以及當時在該系高能物理組的吳詠時合作給出了另一種更普遍的推導，適用于有雜質情形。順便提一下，長期以來，牛謙（德克薩斯大學教授）與吳詠時（猶他大學教授，現在也是復旦大學教授）在凝聚態的拓撲性質方面都作出重要的貢獻。最近，索利斯等人的結果也在冷原子實驗中得以證實，實驗上測量了陳數。

　　陳數起源于拓撲可以作如下簡單的理解：一個曲面總是被它的邊緣環路所包圍，這個環路可以是1圈，也可以是2圈，事實上可以是任意整數n圈。這個整數n就是拓撲的，也是一個纏繞數，與曲面的具體形狀無關。 在量子霍爾效應上，這個曲面是在抽象的參數空間里，拓撲性在物理上表現為前面提到的霍爾電導對實驗和樣品的細節不敏感。

　　通過索利斯等人的工作，霍爾電導的量子化被歸結于某種參數空間的拓撲數。因此原則上，即使沒有磁場，只要能實現參數空間的陳數，就可以讓電導量子化，即正比于整數。因為這種拓撲性，表現出量子霍爾效應的電子氣被稱作拓撲量子流體。

　　拓撲學是數學中的一個分支，研究階梯式變化的性質，比如以上物體的洞的數量。拓撲學是三位得獎者能做出這一成就的關鍵，它解釋了為什么薄層物質的的導電率會以整數倍發生變化。圖片來源：nobelprize.org

　　由于索利斯等人的奠基工作，1988年，霍爾丹發現，即使沒有磁場，只要有所謂的時間反演對稱破缺（指當構成系統的微觀粒子從初態到終態的運動反過來時，系統的能量函數有改變；否則就說是有時間反演對稱），而且有陳數非零的能帶（固體中每個電子的能量在某些范圍內有連續的可能值，在另一些范圍連續地不可能，這樣的分布稱作能帶），類似量子霍爾效應的拓撲量子流體也能形成，也會有類似量子霍爾效應的電導量子化。當時霍爾丹是借助于一種理論模型。最近該模型用激光形成的晶格上的冷原子直接模擬出來。

　　霍爾丹研究的沒有磁場的拓撲量子流體的思想近年來在所謂的拓撲絕緣體中也得以實現。拓撲絕緣體通常是由自旋軌道耦合與時間反演對稱性導致的一種拓撲物態，因為拓撲的原因，拓撲絕緣體的體內是絕緣體，而表面是導體。在這里，動量起到了類似磁場的作用。在拓撲絕緣體中，電子表現出所謂的量子自旋霍爾效應。這在2005年由凱恩（C. Kane）、邁樂（E. Mele）在一個石墨烯模型中提出。

　　但是石墨烯中的自旋軌道耦合很小，現實可行的方案由張首晟（斯坦福大學教授）及其合作者于2006年用半導體量子阱提出，并由德國的默棱坎普（L. Molenkamp）組于2007年在實驗上得以實現。 霍爾丹所提出的沒有磁場的量子霍爾效應被稱作反常量子霍爾效應，這首先由薛其坤組于2013年用摻入磁性雜志的拓撲絕緣體（從而破環時間反演對稱）驗證。現在人們也發現了3維的拓撲絕緣體。

　　對稱性保護的拓撲態

　　1982年，霍爾丹研究了1維磁體的拓撲性質。1維磁體又稱自旋鏈，由很多原子組成，每個原子有自旋（一種內部角動量，類似旋轉，但事實上不是），在某個基本單位下，它可以是半整數，也可以是整數。 如果相鄰原子的自旋之間的相互作用是正數，那么相鄰自旋方向相反時，能量較低。

　　霍爾丹指出，自旋整數與半整數的反鐵磁自旋鏈具有截然不同性質。對整數自旋構成的鏈而言，最低能量與最接近的能量之間有個有限差，稱作能隙。而半整數自旋構成的鏈沒有能隙，也就是說是連續的。霍爾丹的猜想首先在磁性材料CsNiCl3中得到驗證。

　　在霍爾丹的論證中，他考慮量子力學和熱效應導致的對于相鄰自旋相反這樣的情況的偏離。各種各樣的情況各有幾率。而這個幾率又取決于一個在時間與空間組成的抽象空間里的一個拓撲量，即纏繞數乘以自旋（整數或半整數）。這個拓撲量是一個復數的相位，因此導致整數自旋的這個復數為1。當纏繞數是偶數時，整數自旋的這個復數總是為1，否則為-1。

　　因為需要考慮各種纏繞數的可能，所以對于偏離相鄰自旋相反的情況，半整數自旋鏈的各種纏繞的貢獻互相抵消。所以半整數自旋鏈的能量情況正如相鄰自旋相反的情況，那是沒有能隙的。而對于整數自旋鏈來說，情況偏離了相鄰自旋相反，導致有能隙。這被稱做霍爾丹相。

　　現在人們認識到，霍爾丹相、整數量子霍爾效應態和拓撲絕緣體都屬于所謂對稱性保護的拓撲態。還有一些拓撲物態不屬于這一類，比如分數量子霍爾效應和自旋液體，里面還有很多未解之謎。

　　目前，國際上拓撲物態研究方興未艾。一個領頭人是文小剛（麻省理工學院教授），他在與牛謙合作的一篇文章中首次提出拓撲序的概念。拓撲序后來成為拓撲量子計算的基礎。拓撲物態的研究對于量子計算的實現也是很有意義的。

　　本文已經提到不少在拓撲物態這個凝聚態物理的前沿領域作出重要貢獻的華人或中國人，另外還有很多華人和中國科學家活躍在這個領域。比如，在三維拓撲絕緣體和外爾（Weyl）半金屬等問題的研究中，中國科學家都作出了非常重要的貢獻。

　　參考文獻：

　　1.2016年諾貝爾物理學家官方材料

　　2.施郁，2016年諾貝爾物理學獎： 姍姍來遲，實至名歸，科學網博客; 物理文化微信號。

　　作者：復旦大學物理學系教授施郁。

　　研究方向：理論物理（量子糾纏及其在凝聚態物理和粒子物理中的運用）、物理學史

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